segunda-feira, 24 de agosto de 2015
quinta-feira, 3 de junho de 2010
GEOMETRIA
O nome Geometria em grego, significa medida da terra. (geo = terra; metria = medida)
No antigo Egito, a geometria era amplamente utilizada. Os agrimensores usava-na para medir terrenos, enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificações. As famosas pirâmides, construídas próximas ao rio Nilo, são um ótimo exemplo disso
Os Egípcios ganharam tanta fama que os matemáticos gregos iam constantemente ao Egito em busca de novas aplicações na geometria.
Por volta de 600 a.C, os matemáticos gregos começam a sistematizar os conhecimentos geométrico que foram adquirindo, fazendo com que a Geometria deixasse de ser puramente experimental.
Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito principalmente pelo matemático grego Euclides, por volta de 300 a.C, e reunido numa obra de 13 volumes, chamada os Elementos.
Toda a geometria que estudamos hoje é praticamente a mesma daquela época.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, reta e plano não são definidos. Temos a idéia intuitiva de ponto (quando olhamos uma estrela no céu, localizamos uma cidade no mapa etc...), de reta (observando as linhas do campo de futebol, de uma quadra de futsal os fios da rede elétrica bem esticado etc...), de plano (observando o piso de sua casa, o campo de futebol a superfície de uma piscina etc...).
Se observarmos bem a nossa volta, vamos nos deparar com estes a todo momento.
Ponto: Não possui dimensões. Representamos o ponto por uma letra maiúscula do alfabeto latino.
Reta: A reta é imaginada sem espessura, não tem começo e nem fim. Representamos a reta por uma letra minúscula do alfabeto latino, quando desenhamos uma reta no caderno ou quadro, estamos representado parte da reta.
Plano: O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. Plano é imaginado sem limites em todas as direções, como acontece com a reta é impossível representarmos o plano no papel ou quadro. Por isso representamos parte deste. Representamos o plano por uma letra do alfabeto grego. Como alfa(α), beta (β) e gama (γ).
Devemos lembrar que, usamos pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto, está contido e não está contido para relacionar conjunto com conjunto. Vale lembrar que ponto é elemento, reta e plano são conjuntos.
Segmento de Reta
Dados dois pontos distintos(diferentes), a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um seguimento de reta.
Semi-reta
Como vimos em geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere um ponto A que pertence a uma reta r. Podemos dizer que esse ponto A separa a reta em dois conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semi-reta. O ponto A é chamado origem das semi-resta.
No antigo Egito, a geometria era amplamente utilizada. Os agrimensores usava-na para medir terrenos, enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificações. As famosas pirâmides, construídas próximas ao rio Nilo, são um ótimo exemplo disso
Os Egípcios ganharam tanta fama que os matemáticos gregos iam constantemente ao Egito em busca de novas aplicações na geometria.
Por volta de 600 a.C, os matemáticos gregos começam a sistematizar os conhecimentos geométrico que foram adquirindo, fazendo com que a Geometria deixasse de ser puramente experimental.
Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito principalmente pelo matemático grego Euclides, por volta de 300 a.C, e reunido numa obra de 13 volumes, chamada os Elementos.
Toda a geometria que estudamos hoje é praticamente a mesma daquela época.
Ponto, Reta e Plano
Ponto, reta e plano não são definidos. Temos a idéia intuitiva de ponto (quando olhamos uma estrela no céu, localizamos uma cidade no mapa etc...), de reta (observando as linhas do campo de futebol, de uma quadra de futsal os fios da rede elétrica bem esticado etc...), de plano (observando o piso de sua casa, o campo de futebol a superfície de uma piscina etc...).
Se observarmos bem a nossa volta, vamos nos deparar com estes a todo momento.
Ponto: Não possui dimensões. Representamos o ponto por uma letra maiúscula do alfabeto latino.
Reta: A reta é imaginada sem espessura, não tem começo e nem fim. Representamos a reta por uma letra minúscula do alfabeto latino, quando desenhamos uma reta no caderno ou quadro, estamos representado parte da reta.
Plano: O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. Plano é imaginado sem limites em todas as direções, como acontece com a reta é impossível representarmos o plano no papel ou quadro. Por isso representamos parte deste. Representamos o plano por uma letra do alfabeto grego. Como alfa(α), beta (β) e gama (γ).
Devemos lembrar que, usamos pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto, está contido e não está contido para relacionar conjunto com conjunto. Vale lembrar que ponto é elemento, reta e plano são conjuntos.
Segmento de Reta
Dados dois pontos distintos(diferentes), a reunião do conjunto desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um seguimento de reta.
Semi-reta
Como vimos em geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere um ponto A que pertence a uma reta r. Podemos dizer que esse ponto A separa a reta em dois conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semi-reta. O ponto A é chamado origem das semi-resta.
GEOMETRIA ELEMENTAR
TRIÂNGULOS
Conceitos – Elementos – Classificação
Definição
Dados três pontos A, B e C não colineares, à reunião dos seguimentos A̅B̅, A̅C̅ e B̅C̅ chama-se triângulo ABC.
Indicação:
Triângulo ABC = ∆ABC.
Elementos
Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do ∆ABC.
Lados: os segmentos A̅̅B̅, A̅C̅ e B̅C̅ são os lados do triângulo.
Ângulos: os ângulos BÂC ou A^BC ou ^B e A^CB ou ^C são ângulos do ∆ABC (ou ângulos internos ∆ABC).
Diz-se que os lados B̅C̅, A̅C̅ e A̅̅B̅ e os ângulos Â, ^B e ^C são, respectivamente, opostos.
Classificação aos lados, os triângulos se classificam em:
eqüiláteros se, e somente se, tem os três lados congruentes;
isósceles se, e somente se, tem dois lados congruentes;
escaleno se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes.
Triângulo Equilátero Os três lados têm medidas iguais.
m(AB)=m(BC)=m(CA)
Triângulo Isósceles
Dois lados têm a mesma medida.
m(AB)=m(AC)
Triângulo Escaleno Todos os três lados
têm medidas diferentes.
Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado de base e o ângulo oposto a base é o ângulo do vértice.
Notemos que todo triângulo eqüilátero é também triangulo isósceles.
Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam em:
retângulos se, e somente se, tem um ângulo reto;
acutangulos se,e somente se, tem os três ângulos agudos;
obtusângulos se,e somente se, tem um ângulo obtuso.
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90 graus).
Triângulo obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos.
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é:
a + b + c = 180º
Exemplo: Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º+60º+x=180º e dessa forma, obtemos x=180º-70º-60º=50º.
Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.
Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim:
A = b+c, B = a+c, C = a+b
Exemplo: No triângulo desenhado ao lado: x=50º+80º=130º.
Congruência de Triângulos
Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação:
ABC ~ DEF
Para os triângulos das figuras abaixo:
existe a congruência entre os lados, tal que:
AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ TR
e entre os ângulos:
A ~ R , B ~ S , C ~ T
Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos:
ABC ~ RST
Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.
Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos iguais.
Casos de Congruência de Triângulos
1. LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos.
Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.
2 LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo
Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os ângulos formados por eles também são congruentes.
3 ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.
4 LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado.
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
Conceitos – Elementos – Classificação
Definição
Dados três pontos A, B e C não colineares, à reunião dos seguimentos A̅B̅, A̅C̅ e B̅C̅ chama-se triângulo ABC.
Indicação:
Triângulo ABC = ∆ABC.
Elementos
Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do ∆ABC.
Lados: os segmentos A̅̅B̅, A̅C̅ e B̅C̅ são os lados do triângulo.
Ângulos: os ângulos BÂC ou A^BC ou ^B e A^CB ou ^C são ângulos do ∆ABC (ou ângulos internos ∆ABC).
Diz-se que os lados B̅C̅, A̅C̅ e A̅̅B̅ e os ângulos Â, ^B e ^C são, respectivamente, opostos.
Classificação aos lados, os triângulos se classificam em:
eqüiláteros se, e somente se, tem os três lados congruentes;
isósceles se, e somente se, tem dois lados congruentes;
escaleno se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes.
Triângulo Equilátero Os três lados têm medidas iguais.
m(AB)=m(BC)=m(CA)
Triângulo Isósceles
Dois lados têm a mesma medida.
m(AB)=m(AC)
Triângulo Escaleno Todos os três lados
têm medidas diferentes.
Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado de base e o ângulo oposto a base é o ângulo do vértice.
Notemos que todo triângulo eqüilátero é também triangulo isósceles.
Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam em:
retângulos se, e somente se, tem um ângulo reto;
acutangulos se,e somente se, tem os três ângulos agudos;
obtusângulos se,e somente se, tem um ângulo obtuso.
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90 graus).
Triângulo obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos.
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é:
a + b + c = 180º
Exemplo: Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º+60º+x=180º e dessa forma, obtemos x=180º-70º-60º=50º.
Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.
Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim:
A = b+c, B = a+c, C = a+b
Exemplo: No triângulo desenhado ao lado: x=50º+80º=130º.
Congruência de Triângulos
Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação:
ABC ~ DEF
Para os triângulos das figuras abaixo:
existe a congruência entre os lados, tal que:
AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ TR
e entre os ângulos:
A ~ R , B ~ S , C ~ T
Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos:
ABC ~ RST
Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.
Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos iguais.
Casos de Congruência de Triângulos
1. LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos.
Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.
2 LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo
Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os ângulos formados por eles também são congruentes.
3 ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.
4 LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado.
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
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