GEOMETRIA ELEMENTAR

TRIÂNGULOS

Conceitos – Elementos – Classificação

Definição

Dados três pontos A, B e C não colineares, à reunião dos seguimentos A̅B̅, A̅C̅ e B̅C̅ chama-se triângulo ABC.
Indicação:
Triângulo ABC = ∆ABC.



Elementos

Vértices: os pontos A, B e C são os vértices do ∆ABC.
Lados: os segmentos A̅̅B̅, A̅C̅ e B̅C̅ são os lados do triângulo.
Ângulos: os ângulos BÂC ou A^BC ou ^B e A^CB ou ^C são ângulos do ∆ABC (ou ângulos internos ∆ABC).
Diz-se que os lados B̅C̅, A̅C̅ e A̅̅B̅ e os ângulos Â, ^B e ^C são, respectivamente, opostos.

Classificação aos lados, os triângulos se classificam em:
eqüiláteros se, e somente se, tem os três lados congruentes;
isósceles se, e somente se, tem dois lados congruentes;
escaleno se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes.


Triângulo Equilátero Os três lados têm medidas iguais.
m(AB)=m(BC)=m(CA)






Triângulo Isósceles
Dois lados têm a mesma medida.
m(AB)=m(AC)




Triângulo Escaleno Todos os três lados
têm medidas diferentes.



Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado de base e o ângulo oposto a base é o ângulo do vértice.
Notemos que todo triângulo eqüilátero é também triangulo isósceles.

Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam em:
retângulos se, e somente se, tem um ângulo reto;
acutangulos se,e somente se, tem os três ângulos agudos;
obtusângulos se,e somente se, tem um ângulo obtuso.


Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90 graus).


Triângulo obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º



Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.



Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos.



A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é:
a + b + c = 180º

Exemplo: Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º+60º+x=180º e dessa forma, obtemos x=180º-70º-60º=50º.


Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como observamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.

Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim:
A = b+c, B = a+c, C = a+b

Exemplo: No triângulo desenhado ao lado: x=50º+80º=130º.


Congruência de Triângulos
Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usaremos a notação:
ABC ~ DEF
Para os triângulos das figuras abaixo:

existe a congruência entre os lados, tal que:
AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ TR
e entre os ângulos:
A ~ R , B ~ S , C ~ T
Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escrevemos:
ABC ~ RST
Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.
Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos iguais.

Casos de Congruência de Triângulos
1. LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos.
Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamente, os três lados congruentes. Observe que os elementos congruentes têm a mesma marca.


2 LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo
Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados congruentes e os ângulos formados por eles também são congruentes.


3 ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.


4 LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, um ângulo e um ângulo oposto ao lado.
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.